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Concept
Fonction gaussienne
Résumé
vignette|Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 ; courbe centrée en zéro.
Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l'opposé du carré de l'abscisse (une fonction en exp(-x)). Elle a une forme caractéristique de courbe en cloche.
L'exemple le plus connu est la densité de probabilité de la loi normale
où μ est l'espérance mathématique et σ est l'écart type.
Les fonctions gaussiennes sont analytiques, de limite nulle en l'infini.
La largeur à mi-hauteur H vaut
la demi-largeur à mi-hauteur vaut donc environ 1,177·σ.
La fonction gaussienne est infiniment dérivable partout. Les dérivées successives de la fonction gaussienne font apparaitre les polynômes d'Hermite.
S'il est aisé de calculer les dérivées d'une fonction gaussienne, on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide des fonctions élémentaires (c'est une conséquence d'un théorème de Liouville) ; on les exprime à l'aide de la fonction d'erreur. On peut cependant calculer l'intégrale d'une gaussienne sur la droite réelle, par l'intégrale de Gauss :
et, de manière générale :
Ainsi, cette intégrale vaut 1 si et seulement si , et alors, la gaussienne a les propriétés d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ et de variance σ. Graphiquement "a" représente l'amplitude de la fonction gaussienne, son ordonnée maximale.
Les fonctions gaussiennes centrées en 0 minimisent le principe d'incertitude de Fourier.
Soient deux fonctions gaussiennes et .
La somme de ces deux fonctions ne se simplifie pas plus.
En revanche, si X et X sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes de densité de probabilité f(x) et f(x) respectivement, alors la variable aléatoire X = X + X est aussi gaussienne et sa densité de probabilité est donnée par le produit de convolution de f(x) et f(x).
Le produit de convolution f = f * f de deux fonctions gaussiennes est encore une fonction gaussienne, de moyenne et d'écart-type . Dans le cadre des probabilités, il s'agit de la densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales.
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