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Concept
Opérateur de Laplace-Beltrami
Résumé
L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes.
On part de la définition , et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.
Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.
Sur une variété différentielle orientable, la divergence est naturellement associée
à une forme volume. Si est une telle forme,
toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique
où est une fonction.
Cela s'applique à la dérivée de Lie de
par rapport à un champ de vecteurs .
La divergence de (par rapport à ) est l'unique
fonction telle que
D'après la formule , on a
Donc, d'après la formule de Stokes, si
est à support compact,
Si s'écrit en coordonnées locales ,
on a
(car est une dérivation).
Si , on a ,
d'où l'on tire ,
et finalement,
Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume en son opposée,
ne change pas. En fait, la divergence
ne dépend que de la densité associée à .
Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en
fait utilisé une orientation locale.
L'exemple le plus important est celui de
la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.
En coordonnées locales .
D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable.
Le déterminant des est souvent noté ,
notamment par ceux qui écrivent la métrique riemannienne,
cela ne porte pas trop à confusion.
Le gradient d'une fonction (disons lisse)
est l'unique champ de vecteurs, noté , tel que
pour tout champ de vecteurs .
En coordonnées locales,
Ici,
est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par
où est le symbole de Kronecker.
Source officielle
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