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Concept
Ensemble polaire
Résumé
En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.
Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :
le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à ;
le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
le polaire de la boule unité fermée de la norme l de R est la boule unité fermée de la norme l, avec 1/p + 1/q = 1.
En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).
Le polaire d'une partie d'un espace euclidien est défini par
où désigne le produit scalaire de .
Exemples
Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier, .
Les boules unité fermées des normes l et l, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de est son propre polaire.
Dans le plan euclidien, le polaire de la bande est la demi-droite .
Le bipolaire d'une partie de est le polaire de son polaire. On le note
On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de par et son enveloppe convexe fermée par .
On peut voir comme une intersection de demi-espaces fermés de , contenant l'origine :
Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.
On peut aussi écrire comme suit :
où désigne la conjuguée de la fonction indicatrice de l'ensemble .
Soit une partie d'un espace euclidien.
Source officielle
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