En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.
Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :
le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à ;
le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
le polaire de la boule unité fermée de la norme l de R est la boule unité fermée de la norme l, avec 1/p + 1/q = 1.
En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).
Le polaire d'une partie d'un espace euclidien est défini par
où désigne le produit scalaire de .
Exemples
Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier, .
Les boules unité fermées des normes l et l, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de est son propre polaire.
Dans le plan euclidien, le polaire de la bande est la demi-droite .
Le bipolaire d'une partie de est le polaire de son polaire. On le note
On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de par et son enveloppe convexe fermée par .
On peut voir comme une intersection de demi-espaces fermés de , contenant l'origine :
Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.
On peut aussi écrire comme suit :
où désigne la conjuguée de la fonction indicatrice de l'ensemble .
Soit une partie d'un espace euclidien.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
In mathematics, a dual system, dual pair, or duality over a field is a triple consisting of two vector spaces and over and a non-degenerate bilinear map . Duality theory, the study of dual systems, is part of functional analysis. It is separate and distinct to Dual-system Theory in psychology. Pairings A or pair over a field is a triple which may also be denoted by consisting of two vector spaces and over (which this article assumes is the field either of real numbers or the complex numbers ).
En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale.
In functional analysis and related areas of mathematics, a continuous linear operator or continuous linear mapping is a continuous linear transformation between topological vector spaces. An operator between two normed spaces is a bounded linear operator if and only if it is a continuous linear operator. Continuous function (topology) and Discontinuous linear map Bounded operator Suppose that is a linear operator between two topological vector spaces (TVSs). The following are equivalent: is continuous.
Explore les résultats élémentaires en optimisation convexe, y compris les coques affines, convexes et coniques, les cônes appropriés et les fonctions convexes.
This work studies linear elliptic problems under uncertainty. The major emphasis is on the deterministic treatment of such uncertainty. In particular, this work uses the Worst Scenario approach for the characterization of uncertainty on functional outputs ...
We use variational techniques to prove existence and nonexistence results for the following singular elliptic system: {div(vertical bar del u vertical bar(p-2)del u) = theta z(q)/u(1-0), u > 0 in Omega is an element of W-0(,1p) (Omega), -div(vertical bar d ...
In this paper we prove an existence result for the following singular elliptic system {z > 0 in Omega, z is an element of W-0(iota,p)(Omega) : -Delta(p)z = a(x)z(q-iota)u(theta) , u > 0 in Omega, u is an element of W-0(iota,p)(Omega) : -Delta(p)u = b(x)z(q ...