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Concept
Fonction d'erreur
Résumé
thumb|right|upright=1.4|Construction de la fonction d'erreur réelle.
En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction entière utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales. Elle est définie par :
La fonction erf intervient régulièrement dans le domaine des probabilités et statistiques, ainsi que dans les problèmes de diffusion (de la chaleur ou de la matière).
La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle [–z, z] est :
La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur erf, par la relation :
ou bien encore :
La fonction d'erreur intervient dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur ou de l'équation de la diffusion, par exemple quand les conditions initiales sont données par la fonction de Heaviside.
Considérons notamment un demi-espace x ≥ 0 occupé par un solide de diffusivité thermique κ et de température initialement uniforme T. Si à l'instant sa frontière est portée puis maintenue à la température T, la température T(x,t) à tout instant et en tout point est donnée par :
L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,
Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa bijection réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.
Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :
En (avec une erreur inférieure à 6 × 10 pour x < 0,5)
En (avec une erreur inférieure à 2 × 10 pour x > 1,75)
Pour
(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10 près).
Pour
(approximation proposée par E.
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