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Concept
Fonction de Pearson
Résumé
Les fonctions de Pearson ont été créées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du et au début du .
Le système de Pearson a été originellement conçu afin de modéliser des observations visiblement asymétriques. Les méthodes pour ajuster un modèle théorique aux deux premiers cumulants ou moments de données observées : toute distribution peut être étendue directement une famille de distributions adaptée. Sauf dans des cas pathologiques, une famille peut être adaptée à l'espérance (premier cumulant) et la variance (deuxième cumulant) de façon arbitraire, mais il était jusque là impossible de construire des densités de probabilité en prenant également en compte l'asymétrie (troisième cumulant standardisé) et la kurtosis (quatrième cumulant standardisé). Ce besoin est apparu quand il a fallu trouver des modèles adaptés à des observations visiblement asymétriques. Les exemples de Pearson citent des données de survie, usuellement asymétriques.
Dans son article original, Pearson (1895, 360) identifie quatre four types de distributions (numéroté de I à IV) en plus de la distribution normale (qu'il numérote originellement ). La classification dépend du support des distributions, selon qu'il soit sur un intervalle borné, une demi-droite ou la droite réelle ; mais aussi selon leur asymétrie possible ou leur symétrie. Un deuxième papier rectifie deux oublis : il redéfinit le (étant redéfinie de la loi normale, désormais la loi inverse-gamma) et introduit la fonction de . Les deux papiers couvrent les cinq types principaux du système de Pearson (I, III, IV, V et VI). Un troisième papier de introduit de nouveaux types et sous-types (numérotés de VII à XII).
décrit un moyen simple de visualiser le paramètre spatial du système de Pearson, adopté par Pearson lui-même par la suite . Les types de Pearson sont caractérisés par deux quantités, couramment notées β1 et β2. La première correspond au carré de l'asymétrie : β1 = γ où γ1 est l'asymétrie, ou troisième moment standardisé.
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