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Concept
Suite logistique
Résumé
En mathématiques, une suite logistique est une suite réelle simple, mais dont la récurrence n'est pas linéaire. Sa relation de récurrence est
Suivant la valeur du paramètre μ (dans [0; 4] pour assurer que les valeurs de x restent dans [0; 1]), elle engendre soit une suite convergente, soit une suite soumise à oscillations, soit une suite chaotique.
Souvent citée comme exemple de la complexité de comportement pouvant surgir d'une relation non linéaire simple, cette suite fut popularisée par le biologiste Robert May en 1976. Une application de la suite logistique est la modélisation de la taille d'une population biologique au fil des générations.
Elle est la solution en temps discret du modèle de Verhulst. Le terme « logistique » provient de l'ouvrage de Pierre François Verhulst qui appelle courbe logistique la solution en temps continu de son modèle. Il écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : . L'auteur n'explique pas son choix mais « logistique » a la même racine que logarithme et logistikos signifie « calcul » en grec.
Dans le modèle logistique, nous considérerons que la variable notée ici x désigne le rapport de la population d'une espèce sur la population maximale de cette espèce (c'est un nombre compris entre 0 et 1). En faisant varier le paramètre μ, plusieurs comportements différents sont observés :
Cas 0 ≤ μ ≤ 1 la population s'éteint.
L’espèce finira par mourir, quelle que soit la population de départ. Autrement dit, .
Cas 1 ≤ μ ≤ 3 l'effectif de la population se stabilise.
Si 1 ≤ μ ≤ 2, la population finit par se stabiliser autour de la valeur , quelle que soit la population initiale. Autrement dit .
Si 2 ≤ μ ≤ 3, elle finit également par se stabiliser autour de après avoir oscillé autour pendant quelque temps. La vitesse de convergence est linéaire, sauf pour μ=3 où elle est très lente.
Cas 3 < μ ≤ 3,57 l'effectif de la population oscille entre 2, 4, 8... valeurs (puissance de 2).
Si 3 < μ ≤ 1+√6 (environ 3,45), elle finit par osciller entre deux valeurs, dépendantes de μ mais pas de la population initiale.
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