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Concept
Fonction itérée
Résumé
En mathématiques, une fonction itérée est une fonction obtenue par composition répétée d’une autre fonction avec elle-même un certain nombre de fois.
La procédure consistant à appliquer la même fonction à plusieurs reprises s’appelle itération.
Les fonctions itérées apparaissent en informatique, dans les systèmes dynamiques, les groupes de renormalisation et sont à la base des fractales.
Définition
L’itérée, plus précisément la deuxième itérée, d’une fonction f , définie sur un ensemble X et à valeurs dans ce même ensemble X, est la fonction f \circ f,
où \circ note la composition de fonctions. Autrement dit, pour tout élément x de X
:(f\circ f)(x) = f(f(x)).
Plus généralement, n étant un entier positif ou nul, la n-ième itérée f^{n} d’une fonction f , définie sur un ensemble X et à valeurs dans ce même ensemble X, se définit par récurrence via la relation
:f^{n} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n
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