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Concept
Attracteur
Résumé
Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble d'états vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, au moins cinq types sont définis : ponctuel, quasi périodique, périodique, étrange et spatial.
Stephen Smale serait à l'origine du terme attracteur.
Il n'est pas toujours possible de calculer finement le comportement d'un système composé d'un très grand nombre d'éléments qui interagissent (par exemple un plasma), mais si on arrive à en déterminer un attracteur, on pourra dans une certaine mesure traiter le problème en travaillant sur celui-ci. Cette méthode se montre utile, en ce qui concerne les plasmas, dans les calculs de confinement des tokamaks.
Quelques attracteurs spécifiques expliquent aussi des cas de passage d'un état chaotique à un état ordonné, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton ou pour les Planeurs dans le jeu de la vie de Conway. En règle générale, la connaissance des attracteurs permet de savoir partiellement (au moins statistiquement) ce qui va émerger du chaos, alors que la connaissance des éléments individuels du système chaotique n'y aide pas particulièrement.
Flot (mathématiques)
Soit un système dynamique avec l'espace des temps ( étant un temps réel continu ou bien discret) et l'espace des phases. Un état évolue par le flot selon la trajectoire . Un flot et ses trajectoires associées peuvent être engendrés par l'itération d'une fonction (dynamique discrète), les solutions d'une équation différentielle ou d'une équation aux dérivées partielles.
Il existe plusieurs définitions d'un attracteur suivant les auteurs ou le contexte.
Un ensemble est un attracteur (local) si
est positivement invariant c'est-à-dire pour tout ;
attire un voisinage de lui-même, c'est-à-dire qu'il existe un ouvert contenant tel que pour tout ouvert contenant , il existe tel que pour tout , . Plus simplement, pour un espace métrique, la distance entre et tend vers 0 quand tend vers .
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