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Concept
Polygone de Petrie
Résumé
En géométrie, un polygone de Petrie est donné par la projection orthogonale d'un polyèdre (ou même d'un polytope au sens général) sur un plan, de sorte à former un polygone régulier, avec tout le reste de la projection à l’intérieur. Ces polygones et graphes projetés sont utiles pour visualiser la structure et les symétries de polytopes aux nombreuses dimensions.
Chaque paire de côtés consécutifs appartient à une même face du polyèdre, mais pas trois. Cette définition s'étend aux polytopes de dimensions supérieures : chaque groupe de n – 1 côtés consécutifs appartient à une même hyperface du polytope, mais pas n.
Le polygone de Petrie d'un polygone régulier est lui-même, car il est déjà dans le plan de projection.
John Flinders Petrie, fils unique de l'égyptologue Flinders Petrie, naquit en 1907. Il montra à l'école de remarquables aptitudes en mathématiques. En se concentrant, il pouvait répondre aux questions sur des objets quadridimensionnels en les visualisant mentalement.
Il fut le premier à réaliser l'importance des polygones visibles seulement sous un certain angle par transparence, et dont les sommets n'étaient pas coplanaires, sur la surface des polyèdres et des polytopes des dimensions au-dessus. Il fut un grand ami de Coxeter, qui nomma ces polygones en son honneur. L'idée des polygones de Petrie a été étendue bien plus tard aux polytopes semi-réguliers.
En 1972, quelques mois après sa retraite, Petrie fut tué par une voiture alors qu'il essayait de traverser une grande route à côté de sa maison dans le Surrey.
Les seuls polyèdres réguliers convexes sont les cinq solides de Platon. Le polygone de Petrie d'un polyèdre régulier {p, q} (voir symbole de Schläfli) possède h côtés, où
Les polyèdres duaux, {p, q} et {q, p}, sont donc contenus par les mêmes polygones de Petrie.
Les polygones de Petrie sont les bords (en rouge) de ces projections orthogonales.
Les lignes bleues représentent les arêtes de devant, et les lignes noires les arêtes de derrière.
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