Décagramme (géométrie)

In geometry, a decagram is a 10-point star polygon. There is one regular decagram, containing the vertices of a regular decagon, but connected by every third point. Its Schläfli symbol is {10/3}. The name decagram combines a numeral prefix, deca-, with the Greek suffix -gram. The -gram suffix derives from γραμμῆς (grammēs) meaning a line. For a regular decagram with unit edge lengths, the proportions of the crossing points on each edge are as shown below. Decagrams have been used as one of the decorative motifs in girih tiles. An isotoxal polygon has two vertices and one edge. There are isotoxal decagram forms, which alternates vertices at two radii. Each form has a freedom of one angle. The first is a variation of a double-wound of a pentagon {5}, and last is a variation of a double-wound of a pentagram {5/2}. The middle is a variation of a regular decagram, {10/3}. A regular decagram is a 10-sided polygram, represented by symbol {10/n}, containing the same vertices as regular decagon. Only one of these polygrams, {10/3} (connecting every third point), forms a regular star polygon, but there are also three ten-vertex polygrams which can be interpreted as regular compounds: {10/5} is a compound of five degenerate digons 5{2} {10/4} is a compound of two pentagrams 2{5/2} {10/2} is a compound of two pentagons 2{5}. {10/2} can be seen as the 2D equivalent of the 3D compound of dodecahedron and icosahedron and 4D compound of 120-cell and 600-cell; that is, the compound of two pentagonal polytopes in their respective dual positions. {10/4} can be seen as the two-dimensional equivalent of the three-dimensional compound of small stellated dodecahedron and great dodecahedron or compound of great icosahedron and great stellated dodecahedron through similar reasons. It has six four-dimensional analogues, with two of these being compounds of two self-dual star polytopes, like the pentagram itself; the compound of two great 120-cells and the compound of two grand stellated 120-cells. A full list can be seen at Polytope compound#Compounds with duals.

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Concepts associés (5)

Polygone de Petrie

En géométrie, un polygone de Petrie est donné par la projection orthogonale d'un polyèdre (ou même d'un polytope au sens général) sur un plan, de sorte à former un polygone régulier, avec tout le reste de la projection à l’intérieur. Ces polygones et graphes projetés sont utiles pour visualiser la structure et les symétries de polytopes aux nombreuses dimensions. Chaque paire de côtés consécutifs appartient à une même face du polyèdre, mais pas trois.

Décagone

Un décagone est un polygone à 10 sommets, donc 10 côtés et 35 diagonales. La somme des angles internes d'un décagone non croisé vaut °. Un décagone régulier est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a deux : un étoilé (le décagramme noté {10/3}) et un convexe (noté {10}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le décagone régulier ». Il est constructible. L'aire d'un décagone régulier de côté a vaut Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte : Tracer un cercle Γ de centre O.

Figure isotoxale

En géométrie, un polytope (un polygone, un polyèdre ou un pavage, par exemple) est isotoxal si son groupe de symétrie agit transitivement sur ses côtés. Informellement, cela veut dire qu'il y a un seul type de côté dans cet objet : pour deux côtés de l'objet, il y a une translation, une rotation et/ou une réflexion qui transforme un côté en l'autre, tout en laissant la région occupée par l'objet inchangée. Le terme isotoxal est dérivé du Grec τοξον qui veut dire arc.