Lemme du ping-pong

En mathématiques, le lemme du ping-pong permet de montrer que certains éléments d'un groupe agissant sur un ensemble engendrent un sous-groupe libre de ce groupe. L'argument du ping-pong remonte à la fin du et est généralement attribué à Felix Klein, qui l'utilisa pour étudier les , les sous-groupes discrets de PSL(2, C). Le lemme du ping-pong fut un outil crucial pour Jacques Tits, qui l'utilisa dans son article de 1972 contenant la preuve d'un résultat célèbre appelé dès lors l'. Ce théorème établit que tout groupe linéaire de type fini est virtuellement résoluble ou bien contient un sous-groupe libre de rang 2. Le lemme du ping-pong et ses variantes sont largement utilisés en topologie géométrique et en théorie géométrique des groupes. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Cette variante se déduit de l'énoncé précédent en posant X = X∪X et H = ⟨a⟩. Le groupe spécial linéaire SL(2,Z) est engendré par les deux matrices élémentaires de transvections et . On peut utiliser le lemme du ping-pong pour démontrer que pour tout entier , le sous-groupe engendré par les matrices et est libre de rang 2. Dans un groupe hyperbolique sans torsion, soient g et h deux éléments qui ne commutent pas. Alors, il existe M ≥ 1 tel que pour tous entiers m, n ≥ M, le sous-groupe ⟨gn, hm⟩ soit libre de rang 2. Le lemme du ping-pong est utilisé dans les groupes Kleiniens, pour étudier leurs . Dans ce contexte, il permet de montrer qu'un certain groupe d'isométries de l'espace hyperbolique de dimension 3 est non seulement libre mais proprement discontinu et . Des arguments similaires sont largement utilisés en théorie géométrique des groupes, en particulier pour les sous-groupes de groupes hyperboliques et pour les groupes d'automorphismes d'arbres. Le lemme du ping-pong est aussi utilisé pour étudier les sous-groupes de type Schottky des mapping class groups de surfaces de Riemann, où l'ensemble sur lequel agit le mapping class group est le de l'espace de Teichmüller.