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Concept
Théorème de Brahmagupta
Résumé
vignette| et implique
En mathématiques, le théorème de Brahmagupta donne une condition nécessaire sur la perpendicularité des diagonales d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle .
Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien indien Brahmagupta.
On suppose que ABCD est un quadrilatère inscriptible qui a ses diagonales perpendiculaires, et nous voulons prouver que AF = FD. Nous allons donc montrer que AF et FD sont tous les deux égales à FM.
Les angles FAM et CBM sont égaux (ce sont des angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle). De plus, les angles CBM et BCM sont des angles complémentaires ainsi que les angles CME et BCM donc les angles CBM et CME sont égaux. Et enfin, les angles CME et FMA sont égaux en tant qu'angles opposés par le sommet. Finalement, AFM est un triangle isocèle, et par conséquent ses côtés AF et FM sont égaux.
vignette|Le point M ci-dessus est nommé H dans cette figure.
La démonstration que FD = FM est similaire. Les angles FDM, BCM, BME et DMF sont tous égaux, donc DFM est un triangle isocèle, d'où FD = FM. Il s'ensuit que AF = FD, ce qui démontre le théorème.
Les quatre "hauteurs médianes" (traduction de l'anglais "maltitude"), joignant le milieu d'un côté à son projeté sur le côté opposé, sont donc concourantes.
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