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Concept
Quadrilatère inscriptible
Résumé
En géométrie, un quadrilatère inscriptible (ou cyclique ) est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le quadrilatère est dit inscrit dans le cercle, et le cercle, circonscrit au quadrilatère.
Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les quatre médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du cercle circonscrit et les médiatrices des diagonales passent par ce point.
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Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les angles opposés sont supplémentaires (leur somme est π radians, soit 180°). Ou de façon équivalente, si et seulement si chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé. Cette propriété est en fait une variante du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.
Un quadrilatère croisé est inscriptible si et seulement si ses angles opposés ont même mesure.
Théorème de Sturm : s'il existe un quadrilatère de longueurs de côtés successifs , c'est-à-dire si , alors il existe un quadrilatère convexe inscriptible ayant pour longueurs de côtés.
Cela signifie que les sommets de tout quadrilatère articulé peuvent être inscrits dans un cercle.
L'aire S d'un quadrilatère convexe inscriptible en fonction des longueurs a, b, c et d de ses côtés successifs est donnée par la formule de Brahmagupta :
où est le demi-périmètre.
D'après la formule de Bretschneider, un quadrilatère convexe ayant a, b, c d pour suite de longueurs des côtés possède une aire maximale lorsqu'il est inscriptible.
L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible est aussi donnée par :
où γ est l'angle entre les côtés de longueurs a et d.
Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs e et f des deux diagonales d'un quadrilatère convexe inscriptible est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés ac et bd :
Les deux diagonales d'un quadrilatère convexe le coupent en quatre triangles ; lorsque le quadrilatère est inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées chacune de deux triangles semblables.
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