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Concept

Homotopy fiber

In mathematics, especially homotopy theory, the homotopy fiber (sometimes called the mapping fiber) is part of a construction that associates a fibration to an arbitrary continuous function of topological spaces f:A \to B. It acts as a homotopy theoretic kernel of a mapping of topological spaces due to the fact it yields a long exact sequence of homotopy groups\cdots \to \pi_{n+1}(B) \to \pi_n(\text{Hofiber}(f)) \to \pi_n(A) \to \pi_n(B) \to \cdotsMoreover, the homotopy fiber can be found in other contexts, such as homological algebra, where the distinguished triangleC(f)\bullet[-1] \to A\bullet \to B_\bullet \xrightarrow{[+1]}gives a long exact sequence analogous to the long exact sequence of homotopy groups. There is a dual construction called the homotopy cofiber. Construction The homotopy fiber has a simple description for a continuous map f:A \to B. If we replace f by a fibration, then the homotopy fib

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Consider a push-out diagram of spaces C B, construct the homotopy push-out, and then the homotopy pull-back of the diagram one gets by forgetting the initial object A. We compare the difference between A and this homotopy pull-back. This difference is measured in terms of the homotopy fibers of the original maps. Restricting our attention to the connectivity of these maps, we recover the classical Blakers-Massey Theorem.

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