Cône d'une application

En mathématiques et plus précisément en théorie de l'homotopie, le cône d'une application est un espace topologique construit à partir du cône ayant pour base l'espace de départ de l'application, en identifiant les points de cette base avec ceux de l'espace d'arrivée au moyen de l'application. Soit X et Y deux espaces topologiques et f : X → Y une application continue. Le cône de l'application f ou cofibre homotopique de f, noté C, est l'espace topologique , c'est-à-dire en quotientant la réunion disjointe CX⊔Y par l'identification de chaque élément x de X ⊂ CX avec son image f(x) dans Y. Plus explicitement, c'est le quotient de la réunion disjointe X×[0, 1]⊔Y par la relation d'équivalence : (x, 0) ∼ (x, 0) et (x, 1) ∼ f(x). Pour un morphisme d'espaces pointés f : (X, x) → (Y, y), en quotientant de plus par (x, t) ∼ y (pour tout t ∈ [0, 1] et pas seulement pour t = 1), on obtient le « cône réduit » Cf de f. Cela revient à remplacer, dans la définition ci-dessus, le cône CX de l'espace par le cône réduit C(X, x) de l'espace pointé. Si X est la sphère S, CX est (homéomorphe à) la (n+1)-boule fermée B. C est alors le quotient de l'union disjointe de cette boule avec Y, par l'identification de chaque point x du bord ∂B = S de cette boule avec son image f(x) dans Y. Si Y = CX et si f est l'inclusion canonique de X dans son cône, Cf est le quotient de X×[0, 1] par : (x, 0) ∼ (x, 0) et (x, 1) ∼ (x, 1). C'est la suspension SX de l'espace X. À l'intersection des deux exemples précédents, le cône de l'inclusion canonique de S dans B est S. Le cône réduit d'une application constante (X, x) → (Y, y), x ↦ y est Σ(X, x) ∨ (Y, y), où Σ désigne la suspension réduite et ∨ le wedge. Pour f : X → Y , l'espace Y est, de façon naturelle, un sous-espace de C et l'inclusion de Y dans C est une cofibration. Si f est injective et relativement ouverte, c'est-à-dire si elle induit un homéomorphisme de X sur f(X), alors CX est également inclus dans C (donc X aussi). Le cône de l'application identité de X est naturellement homéomorphe au cône de X.