Fonction de von Mangoldt

En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt. La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée , est définie sur par Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive. Elle satisfait l'identité ou, ce qui est équivalent, , où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où désigne la fonction de Möbius. La « fonction sommatoire de von Mangoldt » , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une pour , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à . La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est pour . Sa dérivée logarithmique est donc : Plus généralement, sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet , on a et si est complètement multiplicative, on en déduit La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel : qui reste vraie pour . vignette|droite|Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers termes L'équivalent ^Fonction de Tchebychev se réécrit : Hardy et Littlewood ont examiné la série Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que et que Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur telle que chacune des inégalités et est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour .