Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Fonction totient de Jordan
Résumé
En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J.
La fonction J est multiplicative et vaut
où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
On peut définir plus généralement J pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule.
La formule se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id(n) = n ou encore, par inversion de Möbius ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J.
Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or Id et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.
Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J à tout nombre complexe k : par exemple .
Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id est ζ(s – k), on en déduit celle de J :
Un ordre moyen de J(n) est
La est
Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J/J et J/J, sont encore à valeurs dans N* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.
Formule de Gegenbauer :
L'ordre du groupe linéaire GL(m, Z/nZ) est
Celui du groupe spécial linéaire SL(m, Z/nZ) est
Celui du groupe symplectique Sp(2m, Z/nZ) est
Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.
L'OEIS donne des listes explicites pour
J (),
J (),
J (),
J () et
J à J ( à ).
Des quotients par J sont
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J (),
J/J () et
J/J ().
Des exemples de quotients J/J sont
J/J (),
J/J () et
J/J ().
vol. I, 1971, Chelsea Publishing , p. 147
Cat
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.