Concept
En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J. La fonction J est multiplicative et vaut où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n. On peut définir plus généralement J pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule. La formule se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id(n) = n ou encore, par inversion de Möbius ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J. Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or Id et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives. Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J à tout nombre complexe k : par exemple . Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id est ζ(s – k), on en déduit celle de J : Un ordre moyen de J(n) est La est Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J/J et J/J, sont encore à valeurs dans N* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques. Formule de Gegenbauer : L'ordre du groupe linéaire GL(m, Z/nZ) est Celui du groupe spécial linéaire SL(m, Z/nZ) est Celui du groupe symplectique Sp(2m, Z/nZ) est Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan. L'OEIS donne des listes explicites pour J (), J (), J (), J () et J à J ( à ). Des quotients par J sont J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J () et J/J (). Des exemples de quotients J/J sont J/J (), J/J () et J/J (). vol. I, 1971, Chelsea Publishing , p. 147 Cat