Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J. La fonction J est multiplicative et vaut où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n. On peut définir plus généralement J pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule. La formule se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id(n) = n ou encore, par inversion de Möbius ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J. Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or Id et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives. Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J à tout nombre complexe k : par exemple . Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id est ζ(s – k), on en déduit celle de J : Un ordre moyen de J(n) est La est Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J/J et J/J, sont encore à valeurs dans N* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques. Formule de Gegenbauer : L'ordre du groupe linéaire GL(m, Z/nZ) est Celui du groupe spécial linéaire SL(m, Z/nZ) est Celui du groupe symplectique Sp(2m, Z/nZ) est Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan. L'OEIS donne des listes explicites pour J (), J (), J (), J () et J à J ( à ). Des quotients par J sont J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J (), J/J () et J/J (). Des exemples de quotients J/J sont J/J (), J/J () et J/J (). vol. I, 1971, Chelsea Publishing , p. 147 Cat

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (3)

Personnes associées (1)

Concepts associés (9)

Cours associés (1)

Séances de cours associées (15)

On the Density of Coprime Tuples of the Form (n, ⌊f1(n)⌋, …, ⌊fk(n)⌋), Where f_1, …, f_k Are Functions from a Hardy Field

Florian Karl Richter

Let k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N} and let f1, …, f k belong to a Hardy field. We prove that under some natural conditions on the k-tuple ( f1, …, f k ) the density of the set {n∈N:gcd(n,⌊f1(n)⌋,…,⌊fk(n)⌋)=1}{n∈N:gcd(n,⌊f1(n)⌋,…,⌊fk(n)⌋)=1}\displaystyle{\big{n \i ...

Springer International Publishing2017

What are the Longest Ropes on the Unit Sphere?

Henryk Gerlach

We consider the variational problem of finding the longest closed curves of given minimal thickness on the unit sphere. After establishing the existence of solutions for any given thickness between 0 and 1, we explicitly construct for each given thickness ...

Springer-Verlag2011

Ideal knots and other packing problems of tubes

Henryk Gerlach

This thesis concerns optimal packing problems of tubes, or thick curves, where thickness is defined as follows. Three points on a closed space curve define a circle. Taking the infimum over all radii of pairwise-distinct point triples defines the thickness ...

EPFL2010

The aim of this course is to present the basic techniques of analytic number theory.

Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur : où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (a) avec la fonction constante 1(n) = 1 : La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple : la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératri

Indicatrice d'Euler

vignette|upright=1.5|Les mille premières valeurs de φ(n). En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.

Formule d'inversion de Möbius

La formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ». La version classique déclare que pour toutes fonctions arithmétiques f et g, on a si et seulement si f est la transformée de Möbius de g, où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs d de n.

Explore les groupes commutatifs, la fonction Totient d'Euler et les produits cartésiens en théorie de groupe.

Introduit des ensembles, des cartes, des diviseurs, des nombres premiers et des principes arithmétiques liés aux entiers.

Explore le théorème des restes chinois, les systèmes de congruences et les domaines euclidien en nombres entiers et en anneaux polynomiaux.