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Concept
Formule d'inversion de Möbius
Résumé
La formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ».
La version classique déclare que pour toutes fonctions arithmétiques f et g, on a
si et seulement si f est la transformée de Möbius de g,
où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs d de n.
L'équivalence reste vraie si les fonctions f et g (définies sur l'ensemble N* des entiers strictement positifs) sont à valeurs dans un groupe abélien (vu comme Z-module).
On se place dans l'anneau commutatif F des fonctions arithmétiques, défini comme suit. L'ensemble F des fonctions arithmétiques est naturellement muni d'une addition qui en fait un groupe abélien. On le munit d'une deuxième loi interne, la convolution de Dirichlet, en associant à deux éléments f et g de F la fonction f ✻ g définie par :
Cette loi sur F est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, et il existe un élément neutre : la fonction notée ici δ et définie par δ(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ(n) = 0.
Le groupe des inversibles (F, ✻) de cet anneau est le groupe abélien constitué des fonctions f telles que f(1) ≠ 0 (les fonctions multiplicatives en forment un sous-groupe).
En notant 1 la fonction constante 1(n) = 1, la formule d'inversion se réécrit :
Cette équivalence résulte de la définition de μ comme l'inverse de 1 pour la convolution ✻ :
qui donne bien :
et
Ces calculs restent valables pour f et g à valeurs dans un groupe abélien (G, +) car le sous-anneau de F constitué des applications à valeurs entières contient μ et 1, et les applications de N* dans G forment un module à droite sur cet anneau, la loi externe étant la convolution définie par les mêmes formules.
Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus. Soit A un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤.
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