Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Formule d'inversion de Möbius
Résumé
La formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ».
La version classique déclare que pour toutes fonctions arithmétiques f et g, on a
si et seulement si f est la transformée de Möbius de g,
où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs d de n.
L'équivalence reste vraie si les fonctions f et g (définies sur l'ensemble N* des entiers strictement positifs) sont à valeurs dans un groupe abélien (vu comme Z-module).
On se place dans l'anneau commutatif F des fonctions arithmétiques, défini comme suit. L'ensemble F des fonctions arithmétiques est naturellement muni d'une addition qui en fait un groupe abélien. On le munit d'une deuxième loi interne, la convolution de Dirichlet, en associant à deux éléments f et g de F la fonction f ✻ g définie par :
Cette loi sur F est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, et il existe un élément neutre : la fonction notée ici δ et définie par δ(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ(n) = 0.
Le groupe des inversibles (F, ✻) de cet anneau est le groupe abélien constitué des fonctions f telles que f(1) ≠ 0 (les fonctions multiplicatives en forment un sous-groupe).
En notant 1 la fonction constante 1(n) = 1, la formule d'inversion se réécrit :
Cette équivalence résulte de la définition de μ comme l'inverse de 1 pour la convolution ✻ :
qui donne bien :
et
Ces calculs restent valables pour f et g à valeurs dans un groupe abélien (G, +) car le sous-anneau de F constitué des applications à valeurs entières contient μ et 1, et les applications de N* dans G forment un module à droite sur cet anneau, la loi externe étant la convolution définie par les mêmes formules.
Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus. Soit A un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.