Indicatrice d'Euler

vignette|upright=1.5|Les mille premières valeurs de φ(n). En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie. L'indicatrice d'Euler est aussi appelée indicateur d'Euler, fonction phi d'Euler ou simplement fonction phi, car la lettre (ou ) est communément utilisée pour la désigner. Elle porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui fut le premier à l'étudier. Leonhard Euler a le premier étudié cette fonction dans les années 1750, mais tout d'abord sans lui donner de nom. Ce n'est qu'en 1784, dans un article où il reprend l'étude de cette fonction, qu'il utilise pour la dénoter la lettre grecque , sans parenthèses autour de l'argument : . C'est finalement en 1801 que Carl Friedrich Gauss introduit la lettre grecque φ, dans les Disquisitiones Arithmeticae (art. 38), toujours sans user de parenthèses autour de l'argument ; il écrit ainsi φA pour ce qui est noté maintenant φ(A). De nos jours, on emploie la lettre grecque phi minuscule en italique φ ou φ. En 1879, J. J. Sylvester invente le terme de totient pour désigner cette fonction, de sorte qu'elle est généralement désignée sous le terme de dans les écrits anglophones. Le terme totient est employé pour la fonction totient de Jordan, qui est une généralisation de l'indicatrice d'Euler.