Relation (mathématiques)

Une relation entre objets mathématiques d'un certain domaine est une propriété qu'ont, ou non, entre eux certains de ces objets ; ainsi la relation d'ordre strict, notée « < », définie sur N l'ensemble des entiers naturels : 1 < 2 signifie que 1 est en relation avec 2 par cette relation, et on sait que 1 n'est pas en relation avec 0 par celle-ci. Une relation est très souvent une relation binaire, définie sur un ensemble comme la relation d'ordre strict sur N, ou entre deux ensembles. Une relation binaire met en jeu deux objets, mais une relation peut être aussi ternaire — elle met en jeu trois objets, ou plus généralement n-aire, d'arité n, elle met en jeu un nombre fini donné n d'objets. Par exemple, en géométrie euclidienne la relation « A est entre B et C » (sur une droite passant par B et C) est une relation ternaire sur l'ensemble des points du plan. On parle également de relation dans un sens en fait très voisin, mais pour des prédicats, des propriétés exprimées en langage mathématique, qui ne sont donc pas directement des objets mathématiques. Les fonctions ou applications peuvent être vues elles-mêmes comme des cas particuliers de relations ; plus précisément, une fonction (application) n-aire est une relation n+1 fonctionnelle (et applicative). On montre en calcul des prédicats que les relations binaires suffisent au sens qu'on n'aura pas une théorie plus forte avec une théorie dont les symboles de relation sont d'arités plus élevées. Pour exemple la théorie des ensembles n'a que deux symboles non logiques : l'appartenance et l'égalité qui sont deux symboles de relation binaires. Relation binaire L'égalité est un exemple, que l'on peut définir sur n'importe quel ensemble. Il existe une relation d'ordre naturelle par exemple sur l'ensemble des entiers. Dans les deux cas il s'agit d'une relation binaire définie sur un ensemble, elle met en jeu deux objets, a = b, 0 ≤ 1. Plus généralement les relations d'équivalence, et les relations d'ordre sont particulièrement utiles en mathématiques.