Structure algébrique

En mathématiques, une structure algébrique est définie axiomatiquement par une ou plusieurs opérations sur un ensemble (dites internes), éventuellement muni d’autres opérations (externes) dépendant d’autres ensembles, toutes ces opérations satisfaisant certaines relations telles que l’associativité, la commutativité ou la distributivité. La structure de groupe qui émerge progressivement au , avec une seule opération interne et quelques propriétés se formalise au début du avec une kyrielle de structures d’algèbre générale moins restrictives (monoïde) ou au contraire enrichies par une seconde opération (anneau, corps, algèbre de Boole...) voire par l’action d’une autre structure (module sur un anneau, espace vectoriel, algèbre sur un corps...) ou encore une relation d'ordre, une topologie... Les applications compatibles avec les opérations entre deux ensembles présentant la même structure sont appelés morphismes et permettent de formuler cette structure dans le contexte de la théorie des catégories. Dans le contexte de l’algèbre universelle, la notion de structure algébrique est un peu différente et ne s’applique pas aux structures de corps, mais permet de décrire certaines structures topologiques. Beaucoup d’opérations binaires classiques peuvent être considérées comme des lois de composition internes, c’est-à-dire que le résultat est toujours bien défini dans le même ensemble que les opérandes : addition, soustraction et multiplication des entiers relatifs voire des rationnels ou des réels, exponentiation sur les entiers naturels, concaténation des mots, intersection et réunion de parties d’un ensemble, ET et OU logiques... Sans plus d’hypothèses, une telle opération définit un magma (ou groupoïde, mais ce terme est repris dans un sens différent en théorie des catégories) et s’écrit en général multiplicativement : le résultat de l’opération appliquée à x et y se note xy ou x∗y (le symbole ∗ pouvant être remplacé par n’importe quel autre qui se distingue de ceux qui désignent les éléments de l’ensemble).