Nombre normal

En mathématiques, un nombre normal en base 10 est un nombre réel tel que dans la suite de ses décimales, toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur. Par exemple, la séquence 1789 y apparaît avec une fréquence limite 1/10 000. Émile Borel les a ainsi nommés lors de sa démonstration du fait que presque tout réel possède cette propriété. Notons l'ensemble des chiffres en base , et soit un nombre réel. Si est une suite finie d'éléments de , notons le nombre d'apparitions de la suite parmi les premiers chiffres après la virgule du développement propre de en base . Le nombre est dit : simplement normal (ou parfois équiréparti) en base si ; normal en base s'il est simplement normal en base pour tout entier , ce qui équivaut à : ; normal (ou quelquefois absolument normal) s'il est normal dans toute base, ce qui équivaut à : simplement normal dans toute base. Le concept de nombre normal a été introduit par Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontre le « théorème des nombres normaux » : presque tous les nombres réels sont absolument normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non absolument normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue). Un nombre rationnel (donc de développement périodique en toute base) est simplement normal en base si et seulement si la longueur de sa période dans cette base est un multiple de et chaque chiffre de 0 à apparaît fois dans cette période. Il n'est donc jamais normal en base . Par exemple, le rationnel , dont le développement décimal s'écrit , est simplement normal en base dix mais pas en base cent. Un nombre est normal en base si et seulement si la suite est équidistribuée modulo 1, ce qui, d'après le critère de Weyl, équivaut à : pour tout entier . Le produit d'un nombre normal en base par un rationnel non nul est normal en base . L'ensemble des nombres simplement normaux en base est maigre.