Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment (ou quadrivecteur impulsion ou quadri-impulsion ou quadrivecteur impulsion-énergie ou quadrivecteur énergie-impulsion) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte. Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel et d'énergie : Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz. Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées , dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées et sont telles que . Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la : reliant l'énergie, la masse et l'impulsion. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à . Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à . La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski. La dénomination reste usitée. Mais, en raison notamment de sa longueur, des auteurs lui substituent celle de ou de . Cela est discutable car devrait être réservé à et ainsi à . Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante : où correspond à la masse au repos. Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos et de la quadrivitesse . En coordonnées contravariantes, on a , où est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière : où En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule : Puisque est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

Leveraging Continuous Time to Understand Momentum When Training Diagonal Linear Networks

Nicolas Henri Bernard Flammarion, Hristo Georgiev Papazov, Scott William Pesme

In this work, we investigate the effect of momentum on the optimisation trajectory of gradient descent. We leverage a continuous-time approach in the analysis of momentum gradient descent with step size

\gamma

and momentum parameter

\beta

that allows u ...

2024

Leveraging Continuous Time to Understand Momentum When Training Diagonal Linear Networks

On the Generalization of Stochastic Gradient Descent with Momentum

Robust Collaborative Learning with Linear Gradient Overhead

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