Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment (ou quadrivecteur impulsion ou quadri-impulsion ou quadrivecteur impulsion-énergie ou quadrivecteur énergie-impulsion) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte. Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel et d'énergie : Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz. Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées , dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées et sont telles que . Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la : reliant l'énergie, la masse et l'impulsion. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à . Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à . La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski. La dénomination reste usitée. Mais, en raison notamment de sa longueur, des auteurs lui substituent celle de ou de . Cela est discutable car devrait être réservé à et ainsi à . Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante : où correspond à la masse au repos. Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos et de la quadrivitesse . En coordonnées contravariantes, on a , où est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière : où En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule : Puisque est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

On the Generalization of Stochastic Gradient Descent with Momentum

Robust Collaborative Learning with Linear Gradient Overhead

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