Classe (mathématiques)

En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble. Ce n'est pas forcément le cas d'une classe, qui est une collection d'objets que l'on peut définir, dont on peut donc parler, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble. Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d'une classe (ni, a fortiori, d'un ensemble). Les paradoxes de la théorie des ensembles, comme le paradoxe de Russell, montrent la nécessité d'une telle distinction. Ainsi la propriété « ne pas appartenir à soi-même » (x ∉ x) définit une classe mais pas un ensemble. L'existence d'un tel ensemble mènerait à une contradiction. À l'aube du , certains logiciens et mathématiciens comme Ernst Schröder, Giuseppe Peano ou Bertrand Russell emploient le terme « classe » la plupart du temps pour ce qui est appelé aujourd'hui « ensemble ». Cet usage perdure dans certains cas particuliers. Ainsi pour la notion usuelle de relation (dont le graphe est un ensemble de couples), une classe d'équivalence est un ensemble. Si on élargit aux classes propres, on ne peut plus parler d'ensemble quotient. Parfois les deux termes sont employés pour améliorer la clarté d'expression : dans certains contextes, on peut préférer parler de classe d'ensembles plutôt que d’ensemble d'ensembles sans y attacher un sens particulier. Pour fixer le vocabulaire, on va parler dans la suite de collection pour désigner un ensemble au sens intuitif, y compris dans un modèle de la théorie des ensembles — c’est une terminologie souvent utilisée, mais non universelle.