Constante de Lebesgue

En mathématiques, la constante de Lebesgue liée à un ensemble de points donne une idée de la qualité de l'interpolant d'une fonction aux points donnés par rapport à la meilleure approximation polynomiale de cette fonction à degré fixé. Elle est nommée d'après Henri Lebesgue. Soient T = x0, ..., xn des points d'un intervalle [a, b] contenant ces nœuds. Définir une interpolation polynomiale revient à projeter la fonction f sur un polynôme p. On obtient ainsi une fonction Π de l'espace des fonctions continues C([a, b]) vers lui-même, en fait une projection sur le sous-espace P des polynômes de degré au plus n. La constante de Lebesgue Λn(T) est alors une norme d'opérateur de Π. Il reste alors à définir une norme sur C([a, b]), cependant, dans ce cadre, la norme infinie est la plus courante. La constante de Lebesgue borne l'erreur d'interpolation : où P désigne la meilleure approximation polynomiale de f par un polynôme de P : Les normes seront ici toutes considérées comme la norme infinie. On a : par l'inégalité triangulaire. Or, Π étant une projection sur P, il vient ce qui permet de conclure. Notons que cette relation vient aussi de l'application du lemme de Lebesgue. Ainsi, l'interpolation polynomiale est plus mauvaise que la meilleure interpolation polynomiale possible au facteur Λn(T) + 1 près. L'idée serait donc de trouver un ensemble de points ayant la plus faible valeur possible. En utilisant la base des polynômes interpolateurs de Lagrange sur les points (x) : on pose la fonction de Lebesgue qui permet d'exprimer la constante de Lebesgue liée aux nœuds par le maximum de cette fonction : Donner une expression explicite de cette constante reste cependant difficile. Dans le cas des nœuds équidistants, la constante de Lebesgue croît exponentiellement : Dans le cas des nœuds de Tchebychev, la croissance est logarithmique : avec a = 0,9625.... Si les nœuds de Tchebychev semblent un bon choix, il est possible d'améliorer la constante de Lebesgue par une transformation linéaire : en notant t le i-ème nœud de Tchebychev, on pose s = .