thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique.
En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).
Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme :
où X est un symbole appelé « indéterminée du polynôme », supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients a sont dans l'anneau et n est un entier naturel.
Si, en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynomiale, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite principalement du polynôme formel à une indéterminée.
Histoire des polynômes
L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynomiales. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynomiale. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes, pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ou à des corps commutatifs quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.
Polynôme formel
Un polynôme f à une indéterminée est défini comme une expression formelle de la forme
où les coefficients a0, ... , an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.
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Ce cours commence par un rappel de la théorie de Galois vue en 2ème année : les extensions de corps et la correspondance de Galois.
Ensuite, on présente les applications et approfondissements.
Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics a
Explore les fondamentaux de la théorie de Galois, y compris les éléments séparables, les champs de décomposition et les groupes de Galois, en soulignant l'importance des extensions de degrés finis et de la structure des extensions de Galois.
Couvre la fermeture algébrique de Qp et la définition des nombres complexes p-adiques, en explorant la dépendance continue des racines sur les coefficients.
En mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts: the group under multiplication of the invertible elements of a field, ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication. In the case of a field F, the group is (F ∖ {0}, •), where 0 refers to the zero element of F and the binary operation • is the field multiplication, the algebraic torus GL(1).. The multiplicative group of integers modulo n is the group under multiplication of the invertible elements of .
Un nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps des rationnels (autrement dit racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels). Les nombres entiers et rationnels sont algébriques, ainsi que toutes les racines de ces nombres. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques, comme π et e (théorème de Lindemann-Weierstrass), sont dits transcendants. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois.
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.
vignette|upright=1.2|Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité. vignette|upright=1.2|Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange. Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables.
La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
We formulate the Nahm transform in the context of parabolic Higgs bundles on P^1 and extend its scope in completely algebraic terms. This transform requires parabolic Higgs bundles to satisfy an admis
Let F/E be a finite Galois extension of fields with abelian Galois group Γ. A self-dual normal basis for F/E is a normal basis with the additional property that $Tr_{F/E}(g(x),h(x))=\delta_
While over fields of characteristic at least 5, a normal, projective and Gorenstein del Pezzo surface is geometrically normal, this does not hold for characteristic 2 and 3. There is no characterizati