Graphe diamant

Le graphe diamant est, en théorie des graphes, un graphe possédant 4 sommets et 5 arêtes. Il peut être construit à partir du graphe complet à quatre sommets, K4 en lui retirant une arête quelconque. Il est hamiltonien, une autre façon de le construire étant de partir du graphe cycle C4 et de lui ajouter une arête quelconque. Le nom de graphe diamant est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions). Le même terme découlant de la ressemblance du graphe avec la représentation schématisée d'un diamant est également employé lors de l'étude des graphes sans-diamant. Un graphe est dit sans diamant s'il n'admet pas le graphe diamant comme sous-graphe induit. Un graphe sans triangle est nécessairement un graphe sans diamant, puisque le graphe diamant contient un triangle. La conjecture de Hougardy est prouvée pour les graphes sans diamant. La famille des graphes dont chaque composante connexe est un graphe cactus peut être caractérisée par l'interdiction d'un mineur unique : le graphe diamant. Si le graphe diamant et le graphe papillon sont tous les deux des mineurs interdits, la famille de graphe obtenue est la famille des pseudoforêts. Le diamètre du graphe diamant, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 1 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 2-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 2 sommets ou de 2 arêtes. Il est possible de tracer le graphe diamant sur un plan sans qu'aucune de ses arêtes se croisent. Le graphe diamant est donc planaire. C'est également un graphe distance-unité : il peut s'obtenir à partir d'une collection de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1. Cela peut se vérifier en dessinant sur le plan deux triangles équilatéraux ayant un côté en commun. Le nombre chromatique du graphe diamant est 3.