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Concept
Théorème de Cohen-Seidenberg
Résumé
En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale. En géométrie algébrique, ces résultats prennent une interprétation nouvelle et facilitent notamment l'étude de la topologie des schémas. C'est enfin un élément essentiel pour développer la théorie de la dimension algébrique.
On considère un anneau commutatif A et une extension d'anneau B ⊇ A. Le théorème porte sur les idéaux premiers de A et B. On considère quatre situations :
On dit que B ⊇ A est « au-dessus » si pour tout idéal premier de A, il existe un idéal premier de B tel que . On peut représenter cette situation de la manière suivante :
On dit que B ⊇ A est « incomparable » si pour tous idéaux premiers de B, satisfaisant pour un certain idéal premier de A, on a et . Schématiquement,
On dit que B ⊇ A possède la « propriété de montée » si, pour toutes chaînes croissantes d'idéaux de A et de B telles que , on peut compléter la chaîne d'idéaux de B pour qu'elle soit aussi longue que celle de A, tout en maintenant que dans la chaîne étendue. Schématiquement,
On dit que B ⊇ A possède la « propriété de descente » si, pour toutes chaînes décroissantes d'idéaux, on peut également compléter une chaîne d'idéaux de B pour qu'elle ait la même longueur que celle de A et qu'elle satisfasse . Schématiquement,
La propriété de montée implique notamment la propriété d'être au-dessus. Ces propriétés peuvent également être définies dans le cas non commutatif, mais il faut alors distinguer les idéaux à gauche des idéaux à droite.
Le théorème de Cohen-Seidenberg montre alors les faits suivants :
(Montée) Si B est une extension entière de A, alors B satisfait les propriétés de montée (donc aussi d'être au-dessus) et d'incomparabilité.
Source officielle
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Concepts associés (2)
Élément entier
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss. On fixe un anneau commutatif A.
Algèbre commutative
vignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».