Élément entier

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss. On fixe un anneau commutatif A. Exemples Lorsque A est un corps (commutatif), un élément est entier sur A si (et seulement si) il est algébrique sur A. Dans le corps vu comme une algèbre sur l'anneau des entiers relatifs, les éléments entiers sont les entiers algébriques. Par exemple : tout entier de Gauss avec et une racine carrée de –1, est entier sur , car est annulé par le polynôme unitaire à coefficients entiers ; les seuls entiers algébriques rationnels sont les entiers relatifs. Soient a un élément de A et B l'anneau quotient A[X]/(X – a). L'image de X dans B est entière sur A. Soient G un groupe fini d'automorphismes de A, et A le sous-anneau des éléments de A fixes par tous les éléments de G. Alors, tout élément de A est entier sur A. On dit que B est entier sur A, ou que c'est une A-algèbre entière si tout élément de B est entier sur A. On dira aussi que est un morphisme entier ou que est une extension entière. Contrairement au cas des extensions de corps, un morphisme d'anneaux n'est pas nécessairement injectif. Mais dire que b est entier sur A revient à dire que b est entier sur le sous-anneau de B. On peut donc toujours se restreindre aux morphismes injectifs. Mais il est plus commode de garder la définition du cas général (on peut ainsi dire qu'un morphisme surjectif est entier). On dit qu'un morphisme de A dans B est un morphisme fini s'il fait de B un A-module de type fini, autrement dit, s'il existe tels que On dit aussi que B est fini sur A.