En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss.
On fixe un anneau commutatif A.
Exemples
Lorsque A est un corps (commutatif), un élément est entier sur A si (et seulement si) il est algébrique sur A.
Dans le corps vu comme une algèbre sur l'anneau des entiers relatifs, les éléments entiers sont les entiers algébriques. Par exemple :
tout entier de Gauss avec et une racine carrée de –1, est entier sur , car est annulé par le polynôme unitaire à coefficients entiers ;
les seuls entiers algébriques rationnels sont les entiers relatifs.
Soient a un élément de A et B l'anneau quotient A[X]/(X – a). L'image de X dans B est entière sur A.
Soient G un groupe fini d'automorphismes de A, et A le sous-anneau des éléments de A fixes par tous les éléments de G. Alors, tout élément de A est entier sur A.
On dit que B est entier sur A, ou que c'est une A-algèbre entière si tout élément de B est entier sur A. On dira aussi que est un morphisme entier ou que est une extension entière.
Contrairement au cas des extensions de corps, un morphisme d'anneaux n'est pas nécessairement injectif. Mais dire que b est entier sur A revient à dire que b est entier sur le sous-anneau de B. On peut donc toujours se restreindre aux morphismes injectifs. Mais il est plus commode de garder la définition du cas général (on peut ainsi dire qu'un morphisme surjectif est entier).
On dit qu'un morphisme de A dans B est un morphisme fini s'il fait de B un A-module de type fini, autrement dit, s'il existe tels que On dit aussi que B est fini sur A.
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Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à , et Wolfgang Krull. Un énoncé général est le suivant : La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme : Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » : (En effet, pour tout élément a de R, 1 + a est inversible.) Soit une famille génératrice de M. Il existe des tels que pour tout i, .
En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale.
En algèbre commutative, le lemme de normalisation de Noether, dû à la mathématicienne allemande Emmy Noether, donne une description des algèbres de type fini sur un corps. On fixe une algèbre commutative de type fini A sur un corps (commutatif) K. Lemme de normalisation de Noether : L'algèbre contient et est finie sur un sous-anneau de polynômes . De façon équivalente : Il existe un entier positif ou nul d et un homomorphisme fini injectif de K-algèbres Autrement dit, il existe tels que tout élément a de A s'écrit comme une combinaison avec des polynômes dépendants de a.
It is well-known that for any integral domain R, the Serre conjecture ring R(X), i.e., the localization of the univariate polynomial ring R[X] at monic polynomials, is a Bezout domain of Krull dimension
We present DARKFLUX, a software tool designed to analyze indirect-detection signatures for next-generation models of dark matter (DM) with multiple annihilation channels. Version 1.0 of this tool accepts user-generated models with 2 -> 2 tree-level dark ma ...
ELSEVIER2022
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