Premier ordinal non dénombrable

En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω1 ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable. ω1 est le supremum de tous les ordinaux au plus dénombrables ; ce sont ses éléments. Comme tout ordinal (dans l'approche de von Neumann), ω1 est un ensemble bien ordonné, la relation d'ordre étant la relation d'appartenance : ∈. C'est un ordinal limite, c'est-à-dire qu'il n'est pas de la forme α + 1. Le cardinal de l'ensemble ω1 est le deuxième nombre cardinal infini et est noté א1 (aleph-1). L'ordinal ω1 est donc l'ordinal initial de א1. Dans la plupart des constructions, ω1 et א1 sont égaux en tant qu'ensembles. Plus généralement : si α est un ordinal arbitraire, on peut définir ω comme l'ordinal initial du cardinal א. On peut démontrer l'existence de ω1 sans l'axiome du choix (voir l'article Ordinal de Hartogs). Tout ordinal α peut être muni de la topologie de l'ordre. Cet espace topologique associé à α est souvent noté [0, α[, car c'est l'espace de tous les ordinaux strictement inférieurs à α. L'espace [0, ω1[ est utilisé pour définir la longue droite et la planche de Tychonoff, deux contre-exemples importants en topologie. L'espace [0, ω1[ n'est pas compact. Son compactifié d'Alexandrov est [0, ω1] = ω1 + 1. Dans [0, ω1], l'élément ω1 n'a pas de base de voisinages dénombrable. Par conséquent, le compact [0, ω1] n'est pas parfaitement normal (le fermé {ω1} n'est pas un G). En termes d', est un espace à bases dénombrables de voisinages (donc séquentiel) et n'est pas séparable (donc pas à base dénombrable d'ouverts). Puisque l'ordinal supremum (i. e. la réunion) d'un ensemble dénombrable d'ordinaux dénombrables est encore dénombrable, l'espace [0, ω1[ est (c'est-à-dire que toute partie dénombrable de [0, ω1[ est relativement compacte) donc séquentiellement compact (puisqu'il est de plus à bases dénombrables de voisinages) donc dénombrablement compact donc (c'est-à-dire que toute fonction continue de [0, ω1[ vers R est bornée).

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