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Concept
Ordinal de Hartogs
Résumé
En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix.
L'ordinal de Hartogs étant nécessairement un ordinal initial, ou cardinal, on parle également de cardinal de Hartogs. En présence de l'axiome du choix, le cardinal de Hartogs de A est le plus petit cardinal strictement supérieur au cardinal de A, au sens où il s'injecte dans tout ensemble qui ne s'injecte pas dans A.
Le théorème de Hartogs sous sa forme originale énonce que l'on peut associer à tout ensemble A un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. Il particularise à l'ensemble A la construction qui mène au paradoxe de Burali-Forti. Cette version ne nécessite pas le schéma d'axiomes de remplacement, et se démontre donc dans la théorie de Zermelo sans axiome du choix.
Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier.
On se place dans la théorie de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, les ordinaux sont obtenus par la construction de von Neumann. On sait alors qu'à tout ensemble bien ordonné on peut associer un unique ordinal isomorphe à celui-ci (on utilise le schéma d'axiomes de remplacement via par exemple une définition par récurrence transfinie). Étant donné un ensemble A, on peut définir par le schéma d'axiomes de compréhension l'ensemble BA des parties de A × A qui sont des graphes de relations de bon ordre sur un sous-ensemble de A. À chacune des relations de bon ordre de BA on associe l'unique ordinal isomorphe à celui-ci : l'image de BA par cette fonctionnelle est un ensemble d'ordinaux, soit hA, par remplacement. Cet ensemble est clairement un segment initial de la classe des ordinaux, donc un ordinal lui-même.
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