Théorème de Krull–Schmidt

En mathématiques, le théorème de Krull-Schmidt énonce qu'un groupe soumis à certaines conditions de finitude sur des chaînes de sous-groupes, peut être écrit de manière unique comme un produit direct fini de sous-groupes indécomposables. On dit qu'un groupe G satisfait la condition de chaîne sur les sous-groupes si toute suite de sous-groupes de G : est ultimement constant, c'est-à-dire qu'il existe N tel que G N = G N +1 = G N +2 = . . . . On dit que G satisfait la condition de chaîne sur les sous-groupes distingués si toute suite de sous-groupes distingués de G devient finalement constante. De même, on peut définir la condition de chaîne décroissante sur les sous-groupes (distingués), en s'intéressant à toutes les suites décroissantes des sous-groupes (distingués) : Clairement, tous les groupes finis satisfont aux conditions ascendantes et descendantes de chaîne sur les sous-groupes. Le groupe cyclique infini satisfait la condition ascendante mais pas descendante, puisque (2) > (2) 2 > (2) 3 > ... est une suite décroissante infinie de sous-groupes. D'autre part, la partie de -torsion de (le groupe de Prüfer) satisfait la condition descendante mais pas ascendante. On dit qu'un groupe G est indécomposable s'il ne peut s'écrire comme un produit direct de sous-groupes non triviaux G = H × K. Si est un groupe qui satisfait soit la condition ascendante soit descendante de chaîne sur des sous-groupes distingués, alors il y a exactement une façon d'écrire comme produit direct d'un nombre fini de sous-groupes indécomposables de , à l'ordre près. Prouver l'existence est relativement simple: soit S l'ensemble de tous les sous-groupes distingués qui ne peuvent pas être écrits comme un produit de sous-groupes indécomposables. Or tout sous-groupe indécomposable est (trivialement) le produit direct à un terme de lui-même, donc décomposable. Si Krull-Schmidt est faux, alors S contient G ; on peut donc construire itérativement une série décroissante de facteurs ; cela contredit la condition de chaîne descendante.