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Théorie des représentations

Résumé
La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algébriques qui se prêtent à une telle approche figurent les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie. La théorie primordiale des représentations est celle des représentations de groupes, où les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle façon que la loi du groupe corresponde au produit matriciel. La théorie des représentations est un outil puissant, parce qu'elle réduit des problèmes d'algèbre abstraite à des problèmes d'algèbre linéaire, un domaine qui est bien compris. En outre, lorsqu'on autorise l'espace vectoriel, sur lequel un groupe (par exemple) est représenté, à être un espace de dimension infinie, par exemple un espace de Hilbert, on peut appliquer à la théorie des groupes des méthodes d'analyse. La théorie des représentations est aussi importante en physique, parce qu'elle permet de décrire, par exemple, l'influence du groupe des symétries d'un système sur les solutions des équations qui le décrivent. La théorie des représentations est omniprésente en mathématiques. De ce fait, ses applications sont variées : en plus de son impact en algèbre, elle éclaire et généralise largement l'analyse de Fourier via l'analyse harmonique, elle est profondément liée à la géométrie via la théorie des invariants et le programme d'Erlangen et elle a un impact profond en théorie des nombres via les formes automorphes et le programme de Langlands. Par ailleurs, elle peut être abordée de diverses manières : les mêmes objets peuvent être étudiés en utilisant des méthodes de géométrie algébrique, de théorie des modules, de théorie analytique des nombres, de géométrie différentielle, de et de topologie.
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Algèbre générale
L'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.
Algèbre linéaire
vignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
Topologie algébrique
La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est la branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens de la théorie des catégories. L'idée fondamentale est de pouvoir associer à tout espace topologique des objets algébriques (nombre, groupe, espace vectoriel, etc.
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Concepts associés (124)
Fonction centrale
En théorie des groupes, une fonction centrale est une application définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison. Les fonctions centrales à valeurs complexes interviennent dans l'étude des représentations d'un groupe compact ; les fonctions centrales complexes de carré intégrable apparaissent comme les éléments du centre de son , d'où leur nom. Une application définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a : ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s −1)) Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel KG des applications de G dans K par : s.
Groupe diédral
En mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D. Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments.
Théorème de Wigner-Eckart
Le théorème de Wigner-Eckart est un théorème de la théorie de la représentation fort utile en mécanique quantique. Ce théorème permet d'exprimer les éléments de matrice d'un opérateur tensoriel sphérique sur une base d'états propres d'harmoniques sphériques en termes du produit de deux termes : un coefficient de Clebsch-Gordan et un autre terme indépendant de l'orientation du moment angulaire. Le théorème a la formulation suivante : Soit un opérateur tensoriel .
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Cours associés (141)
MATH-310: Algebra
This is an introduction to modern algebra: groups, rings and fields.
PHYS-431: Quantum field theory I
The goal of the course is to introduce relativistic quantum field theory as the conceptual and mathematical framework describing fundamental interactions.
MATH-334: Representation theory
Study the basics of representation theory of groups and associative algebras.
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Séances de cours associées (1 000)
Groupes d'Abeliens Finites
Couvre le théorème de Cauchy, la classification des groupes abeliens finis, les propriétés directes du produit, et plus encore.
Kirillov Paradigm pour le groupe Heisenberg
Explore le paradigme Kirillov pour le groupe Heisenberg et les représentations unitaires.
Groupes fondamentaux
Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.
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MOOCs associés (13)
Algèbre Linéaire (Partie 1)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
Algèbre Linéaire (Partie 1)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
Algèbre Linéaire (Partie 2)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
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Publications associées (1 000)

Multiplicity-free Representations of Algebraic Groups

Donna Testerman, Martin W. Liebeck

Let K be an algebraically closed field of characteristic zero, and let G be a connected reductive algebraic group over K. We address the problem of classifying triples (G, H, V ), where H is a proper connected subgroup of G, and V is a finitedimensional ir ...
Amer Mathematical Soc2024

Koopman-based Data-driven Robust Control of Nonlinear Systems Using Integral Quadratic Constraints

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This paper introduces a novel method for data-driven robust control of nonlinear systems based on the Koopman operator, utilizing Integral Quadratic Constraints (IQCs). The Koopman operator theory facilitates the linear representation of nonlinear system d ...
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Isogeny Problems with Level Structure

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Given two elliptic curves and the degree of an isogeny between them, finding the isogeny is believed to be a difficult problem—upon which rests the security of nearly any isogeny-based scheme. If, however, to the data above we add information about the beh ...
2024
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