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Concept
Convergence faible (espace de Hilbert)
Résumé
En mathématiques, la convergence faible dans un espace de Hilbert est la convergence d'une suite de points dans la topologie faible.
Une suite de points dans un espace de Hilbert H converge faiblement vers un point x dans H si
pour tout y dans H, désignant le produit scalaire de l'espace de Hilbert.
La notation
est parfois utilisée pour désigner ce type de convergence.
Considérons une suite orthonormée, c'est-à-dire
δ
Si cette suite est infinie, alors elle converge faiblement vers zéro.
alt=The first 3 curves in the sequence fn=sin(nx)|vignette|350x350px| Les 3 premières fonctions de la suite sur . Quand , converge faiblement vers .
L'espace de Hilbert est l'espace des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle muni du produit scalaire défini par
(voir espace L). La suite de fonctions définie par
converge faiblement vers la fonction nulle dans , puisque pour toute fonction , l'intégrale
tend vers quand tend vers l'infini : c'est un cas particulier à la fois de l'exemple précédent et du lemme de Riemann-Lebesgue.
On peut remarquer que ne converge pas vers 0 en norme ou . Cette non-convergence est l'une des raisons pour lesquelles ce type de convergence est considéré comme « faible ».
Si une suite converge fortement, elle converge également faiblement.
Dans un espace de Hilbert (comme dans tout espace réflexif) les boules fermées sont faiblement compactes, donc toute suite bornée possède une sous-suite faiblement convergente. Notez que les ensembles fermés et bornés ne sont généralement pas faiblement compacts dans les espaces de Hilbert (par exemple, l'ensemble constitué d'une suite orthonormée comme ci-dessus est fermé et borné mais pas faiblement compact car il ne contient pas 0). Cependant, les ensembles bornés et faiblement fermés sont faiblement compacts, de sorte que chaque ensemble fermé convexe borné est faiblement compact.
Comme dans tout e.v.n., toute suite faiblement convergente est bornée.
La norme est (séquentiellement) faiblement semi-continue inférieurement : si converge faiblement vers x, alors
et cette inégalité est stricte chaque fois que la convergence n'est pas forte.
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