NP (complexité)

La classe NP est une classe très importante de la théorie de la complexité. L'abréviation NP signifie « non déterministe polynomial » (« en »). Un problème de décision est dans NP s'il est décidé par une machine de Turing non déterministe en temps polynomial par rapport à la taille de l'entrée. Intuitivement, cela revient à dire qu'on peut vérifier « rapidement » (complexité polynomiale) si une solution candidate est bien solution. Par exemple, considérons le problème de décision du voyageur de commerce qui, étant donné un entier k et un ensemble de villes séparées par des distances, détermine s'il existe un circuit de longueur inférieure à k qui passe une et une seule fois par toutes les villes. On vérifie « rapidement » qu'une solution candidate, ici un chemin quelconque, est bien solution, c'est-à-dire que c'est bien un circuit de longueur inférieur à k et qu'il passe bien une et seule fois par toutes les villes. L'un des grands problèmes ouverts de l'informatique théorique est le Problème P ≟ NP. On appelle NTIME(t(n)) la classe des problèmes de décision qui peuvent être résolus en temps de l'ordre de grandeur de t(n) sur une machine de Turing non déterministe (où n est la taille de l'entrée). Alors NP = NTIME(). Sur un alphabet , un langage est dans NP s'il existe un polynôme et une machine de Turing déterministe en temps polynomial , tels que pour un mot de taille : (où signifie que la machine accepte sur l'entrée (x,u)). Autrement dit, il existe un « indice », appelé certificat, qui permet de prouver rapidement que le mot est dans le langage. problème NP-complet Les problèmes NP-complets sont les problèmes de NP qui sont aussi NP-difficiles. Ce sont les problèmes les plus difficiles de la classe dans le sens où l'on peut ramener tout problème de NP à ces problèmes par certaines réductions, en particulier des réductions polynomiales. De nombreux problèmes ont été identifiés comme NP-complets, dont le problème SAT ou encore Circuit Hamiltonien.