Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Résultant
Résumé
En mathématiques, le résultant, ou déterminant de Sylvester, est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes.
Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui est nul si, et seulement si, les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés.
Soient A un anneau commutatif, P et Q deux polynômes non nuls de degrés respectifs n et m à coefficients dans A. Les coefficients des polynômes sont notés ai et bj, afin d'avoir les égalités :
Matrice de Sylvester
Avec les notations ci-dessus, le résultant est le déterminant de la matrice (m + n)×(m + n) suivante :
La représentation choisie ici diffère de l'article détaillé. Elle évite une transposition pour exprimer les propriétés du résultant. Comme la transposition ne modifie pas le déterminant, les deux conventions peuvent être choisies.
La matrice M ci-dessus est de taille n + m, avec les m premières colonnes linéaires en le polynôme P, et les n suivantes en le polynôme Q, donc
La modification de l'ordre des colonnes modifie le signe du déterminant en fonction de sa signature, donc
L'endomorphisme φ de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n + m – 1 et de matrice M peut être vu comme une application de l'identité de Bézout. Si U (resp. V) est un polynôme de degré m – 1 (resp. n – 1) :.Si P et Q ne sont pas premiers entre eux, ils ont un facteur commun C. Dès lors, P (resp. Q) est un multiple de C, donc un produit de la forme CP1 (resp. CQ1). L'égalité :montre qu'alors, φ n'est pas injectif et le résultant est nul. Réciproquement, une considération sur les degrés de P et Q montre que si P et Q sont premiers entre eux, l'endomorphisme est injectif donc de déterminant non nul :
Supposons que A est intègre et notons F son corps des fractions et K une extension de F contenant toutes les racines des deux polynômes, notées αi pour P et βj pour Q.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.