Fonction bêta de Dirichlet

vignette|Graphique de la fonction bêta de Drichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4. Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série : ou par l'intégrale Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes : Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch : qui est aussi valable pour tous nombres complexes. Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe. L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1. où Γ est la fonction gamma d'Euler. On peut noter les valeurs particulières suivantes : la constante de Catalan, où est la fonction polygamma d'indice 3, Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π. où les sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec : Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. J. Spanier et K. B.