Inverse

En mathématiques, l'inverse d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée multiplicativement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, multiplié par x, donne 1. On le note x ou 1/x. Par exemple, dans , l'inverse de 3 est , puisque . Soit un monoïde, un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, qu'on note , et d'un élément neutre pour noté 1. Un élément est dit inversible à gauche (respectivement inversible à droite) s'il existe un élément tel que (respectivement ). Il est dit inversible s'il est à la fois inversible à gauche et inversible à droite. L'élément y, qui est alors unique, est appelé l'inverse de x, et est noté x. Le plus souvent, quand on parle d'éléments inversibles, on se place dans un groupe ou dans un anneau. Dans un groupe , la loi de composition interne considérée est et par définition tous les éléments de sont inversibles. Dans un anneau , la loi de composition interne considérée est et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles. Les éléments inversibles de l'anneau forment un groupe pour la multiplication de l'anneau, appelé groupe des inversibles de cet anneau, et souvent noté U(A) ou A. Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi (souvent noté ), est par définition un corps. Dans l'anneau des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement. Dans le corps des nombres réels et dans le corps des rationnels, l'inverse de 2 est = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse. Dans le corps des nombres complexes, l'inverse de l'unité imaginaire i est –i car i × (–i) = 1. Plus généralement, l'inverse d'un nombre complexe non nul est le nombre Dans le corps des quaternions, l'inverse d'un quaternion non nul est le quaternion , où est le conjugué quaternionique de q, soit . Attention, la multiplication des quaternions n'est pas commutative. Dans l'anneau (Z/nZ, +, ×), où n ≥ 2, les inversibles sont exactement les éléments tels que PGCD.