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Concept
Division par zéro
Résumé
La division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait x/0, où x serait le dividende (ou numérateur).
Dans les définitions usuelles de la multiplication, cette opération n'a pas de sens : elle contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde loi de composition d'un corps, car zéro (l'élément neutre de l'addition) est un élément absorbant pour la multiplication.
La division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son livre De l'infini mathématique.
Cette convention est assez cohérente avec les règles de la droite réelle achevée, dans laquelle n'importe quel nombre, divisé par l'infini, donne 0.
La convention de Louis Couturat est cependant assez difficile à comprendre. Elle donne l'infini non signé comme résultat de la division de tout nombre par 0. Or, l'infini non signé est un concept encore plus difficile à saisir que « plus l'infini » et « moins l'infini ». De plus, Couturat est assez flou sur le statut qu'il faut alors donner à des expressions comme ∞ × 0.
Abbas Edalat et Peter John Potts proposèrent pour leur part d'introduire en même temps que l'infini comme inverse de zéro un second élément, qui lui représente les formes indéterminées, y compris celles qui apparaissent à cause de l'introduction de l'infini. En fait, ces propositions sont postérieures aux conventions informatiques.
En informatique, pour le calcul en nombres flottants, c'est un tel système qui est utilisé, en utilisant dans le calcul les éléments +∞, –∞ et NaN, ce dernier étant utilisé pour les formes indéterminées (voir #En informatique).
Si l'on emploie une telle convention, il faut se souvenir que certaines propriétés des nombres réels ne sont plus vraies dans l'ensemble formé par les nombres réels et les nouveaux éléments introduits. En effet, comme on a pour deux nombres différents n et m les égalités n/0 = ∞ et m/0 = ∞, la division n'est plus réversible par multiplication (∞ × 0 ne peut valoir simultanément n et m), et n'est donc plus définie comme son opération réciproque.
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