Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Variable antithétique
Résumé
Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo. Il s'agit de tirer parti de certaines symétries d'une distribution et de la corrélation négative entre deux variables aléatoires.
On souhaite estimer , où X est une variable aléatoire et désigne son espérance mathématique. La méthode de Monte-Carlo de base consiste à simuler n variables iid selon la loi de X, disons X, X, ... ,X, puis à estimer θ par
On peut avoir une idée de l'erreur commise en construisant un intervalle de confiance ; ce dernier nécessite un estimateur de la variance de l'estimateur .
Supposons que l'on dispose de deux échantillons de taille n ; le premier est noté X, X, ... ,X et le second X, X, ... ,X. Pour simplifier les notations, on pose m, m les estimateurs empiriques de l'espérance de h(X) sur respectivement l'échantillon 1 et 2. Autrement dit, on aura
et
L'estimateur Monte-Carlo sur l'échantillon complet est simplement
et, du point de vue de la variance :
Dans le cas iid, la covariance s'annule et (seulement vrai quand n → ∞) , si bien que : le facteur 2 s'explique car on a doublé la taille de l'échantillon.
La technique de la variable antithétique consiste à choisir l'échantillon 2 identiquement distribué selon la loi de X mais en renonçant à l'indépendance, plus précisément en s'arrangeant pour que . Il faut donc exploiter les éléments de symétrie de la loi de X afin de construire le second échantillon à partir du premier, en s'assurant de la négativité de la covariance. Ce faisant, la variance sera inférieure à la variance "normale" .
Par exemple, si la loi de X est la loi uniforme sur [0;1], le premier échantillon sera simplement u, u, ... ,u, où pour tout i, u est tirée selon . On construit le second échantillon u, u, ... ,u, en posant pour tout i: u = 1–u. Si les u sont uniformes sur [0;1], alors il en va de même pour les u. De plus, la covariance est négative, ce qui permet de réduire la variance initiale.
Un autre exemple concerne la loi normale .
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.