En mathématiques, un cas dégénéré peut consister en un objet dont la définition fait apparaître des éléments redondants ou superflus, se ramenant parfois à une définition plus simple. Il peut aussi être vu comme un cas particulier d'une construction générale, ne satisfaisant pas une certaine propriété générique, notamment si ces cas sont rares dans un sens topologique ou en théorie de la mesure.
La dégénérescence se traduit souvent par l'apparition de valeurs nulles ou infinies dans les représentations analytique des objets traités, ce qui peut conduire à des situations d'indétermination (par exemple, le cercle est une ellipse dégénérée pour laquelle il est impossible de déterminer la direction de son grand axe).
Par exemple, un segment est dégénéré lorsque ses extrémités sont identiques ; il se réduit alors à un point et n'a plus de médiatrice. Par extension, un triangle est dégénéré si ses trois sommets sont alignés, ce qui ne permet plus de définir d'orthocentre ou de cercle circonscrit.
Dans l'espace euclidien R, un pavé I × ... × I est dit dégénéré si l'un au moins des segments I l'est.
De même, un cercle est dit dégénéré lorsque son rayon est nul, se réduisant ainsi à son centre. Il n'a alors plus de droite tangente en son bord.
Les courbes solutions d'une équation quadratique dans le plan peuvent aussi définir des coniques propres (ellipse, parabole ou hyperbole) ou des coniques dégénérées telles que le cercle (parfois assimilé à une conique d'excentricité nulle), une droite, la réunion de deux droites sécantes ou parallèles, voire un point isolé ou l'ensemble vide.
Un système d'équations linéaires est dégénéré lorsque l'une des équations sans second membre est linéairement dépendante des autres. Lorsqu'il y a autant d'inconnues que d'équations, le système est dégénéré si et seulement si le déterminant de la matrice associée est nul, c'est-à-dire qu'il ne constitue pas un système de Cramer. L'ensemble des solutions est alors vide ou contient au moins une droite.
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Ce cours entend exposer les fondements de la géométrie à un triple titre :
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vignette|Sur cette figure, les points a1,a2,a3 sont alignés, ainsi que les points b1,b2,b3. En revanche, les points a1,a2,b3 ne sont pas alignés. En géométrie, l’alignement est une propriété satisfaite par certains familles de points, lorsque ces derniers appartiennent collectivement à une même droite. Deux points étant toujours alignés en vertu du premier axiome d’Euclide, la notion d’alignement ne présente d’intérêt qu’à partir d’une collection de trois points.
En géométrie euclidienne, une conique est une courbe plane algébrique, définie initialement comme l’intersection d'un cône de révolution (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec un plan. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est dite non dégénérée et réalise l’une des trois formes de courbe suivantes : ellipse, parabole ou hyperbole (le cercle étant un cas particulier de l'ellipse, parfois appelé quatrième forme). Ces courbes sont caractérisées par un paramètre réel appelé excentricité.
En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitée, munie de notions d’alignement, d’angle et de distance, et dans laquelle peuvent s’inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles. Il sert ainsi de cadre à la géométrie plane, et en particulier à la trigonométrie lorsqu’il est muni d’une orientation, et permet de représenter l’ensemble des nombres complexes. Un plan peut aussi se concevoir comme partie d’un espace tridimensionnel euclidien, dans lequel il permet de définir les sections planes d’un solide ou d’une autre surface.
Couvre la théorie Smith dans la persistance et la dynamique des flots, explorant les invariants de la mécanique classique, le théorème Poincaré-Birkhoff et la conjecture Hofer-Zehnder.
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This paper proposes a method for the construction of quadratic serendipity element (QSE) shape functions on planar convex and concave polygons. Existing approaches for constructing QSE shape functions are linear combinations of the pair-wise products of ge ...