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Concept
Suite géométrique
Résumé
En mathématiques, une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un facteur constant appelé raison.
Ainsi, une suite géométrique a la forme suivante :
La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel n :
Le qualificatif « géométrique » réfère au fait que, dans une suite géométrique à termes positifs, un terme quelconque (à l'exception du premier) est égal à la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui lui succède.
Cette relation est caractéristique de la progression géométrique qui se retrouve par exemple dans l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés ou la composition des intervalles musicaux. Elle permet aussi de modéliser une croissance exponentielle (dans laquelle la variation est proportionnelle à la quantité) par un processus en temps discret.
Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires.
La suite géométrique est un outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle (elle est l'équivalent discret d'une fonction exponentielle), ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).
On observe des suites géométriques dans la nature. Par exemple, le système planétaire HD 158259 comporte quatre à six planètes dont les périodes orbitales forment presque une suite géométrique de raison 3/2.
On retrouve les suites géométriques dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.
On les retrouve aussi en musicologie. En partant d'une certaine fréquence initiale, la suite des octaves correspond à une progression géométrique de raison 2 (en allant vers l'aigu), la suite des quintes pures (celles de l'accord pythagoricien) à une progression géométrique de raison 3/2, la suite des demi-tons de la gamme tempérée à une progression géométrique de raison la racine douzième de 2.
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