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Concept
Suite arithmétique
Résumé
En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (le plus souvent une suite de réels) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.
Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice n :
Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire. Elle décrit bien les phénomènes dont la variation est constante au cours du temps, comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples.
Les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée.
Si (E, +) est un groupe — ou même seulement un ensemble muni d'une loi associative — et si est une suite arithmétique de E de raison r alors, pour tout entier naturel n :
Plus généralement, si la suite n'est définie qu'à partir de l'indice n0 et si n ≥ p ≥ n0 alors :
Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u et de sa raison r.
Réciproquement, une suite définie à partir de l'indice n0 par
est arithmétique de raison r.
En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est donc l'aspect discret de la fonction affine.
Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs réelles et utilise le fait que les réels forment un corps archimédien.
Si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.
En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite :
si la raison est positive (r > 0), la limite est +∞ ;
si la raison est négative (r < 0), la limite est –∞ ;
si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiersSomme (arithmétique) (§ Somme des premiers entiers)
Si E = R ou C et si est une suite arithmétique de E alors, toute somme de termes consécutifs est égale au nombre de ces termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes.
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