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Concept
Fonction partielle
Résumé
In mathematics, a partial function f from a set X to a set Y is a function from a subset S of X (possibly the whole X itself) to Y. The subset S, that is, the domain of f viewed as a function, is called the domain of definition or natural domain of f. If S equals X, that is, if f is defined on every element in X, then f is said to be a total function.
More technically, a partial function is a binary relation over two sets that associates every element of the first set to at most one element of the second set; it is thus a functional binary relation. It generalizes the concept of a (total) function by not requiring every element of the first set to be associated to exactly one element of the second set.
A partial function is often used when its exact domain of definition is not known or difficult to specify. This is the case in calculus, where, for example, the quotient of two functions is a partial function whose domain of definition cannot contain the zeros of the denominator. For this reason, in calculus, and more generally in mathematical analysis, a partial function is generally called simply a . In computability theory, a general recursive function is a partial function from the integers to the integers; no algorithm can exist for deciding whether an arbitrary such function is in fact total.
When arrow notation is used for functions, a partial function from to is sometimes written as or However, there is no general convention, and the latter notation is more commonly used for inclusion maps or embeddings.
Specifically, for a partial function and any one has either:
(it is a single element in Y), or
is undefined.
For example, if is the square root function restricted to the integers
defined by:
if, and only if,
then is only defined if is a perfect square (that is, ). So but is undefined.
A partial function arises from the consideration of maps between two sets X and Y that may not be defined on the entire set X.
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Concepts associés (18)
Fonction (mathématiques)
vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
Surjection
En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l' est égal à l'ensemble d'arrivée. Il est possible d'appliquer l'adjectif « surjectif » à une fonction (voire à une correspondance) dont le domaine de définition n'est pas tout l'ensemble de départ, mais en général le terme « surjection » est réservé aux applications (qui sont définies sur tout leur ensemble de départ), auxquelles nous nous limiterons dans cet article (pour plus de détails, voir le paragraphe « Fonction et application » de l'article « Application »).
Théorie de la calculabilité
La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est un domaine de la logique mathématique et de l'informatique théorique. La calculabilité (parfois appelée « computationnalité », de l'anglais computability) cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et d'autre part à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs.