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Concept
Formule de Newton-Cotes
Résumé
En analyse numérique, les formules de Newton-Cotes, du nom d'Isaac Newton et de Roger Cotes, servent au calcul numérique d'une intégrale sur un intervalle réel [a, b], ceci à l’aide d’une interpolation polynomiale de la fonction en des points répartis uniformément.
La fonction f est évaluée en des points équidistants x = a + iΔ, pour i = 0, ... , n et Δ = (b – a)/n. La formule de degré n est définie ainsi :
où les w sont appelés les coefficients de quadrature. Ils se déduisent d'une base de polynômes de Lagrange et sont indépendants de la fonction f.
Plus précisément, si L(x) est l'interpolation lagrangienne aux points (x, f(x)) et , alors :
Ainsi ;
Le changement de variable conduit à l'expression:
En calculant l'expression précédente lorsque n=1 et i=0, on obtient
On obtient de la même manière . On a ainsi retrouvé les coefficients de quadrature de la méthode des trapèzes.
Soit un intervalle [a, b] séparé en n intervalles de longueur Δ = (b – a)/n. On note f = f(a + i Δ) et ξ un élément indéterminé de ]a, b[. Les formules relatives aux premiers degrés sont résumées dans le tableau suivant :
Les formules relatives aux degrés supérieurs sont donnés dans le tableau suivant :
L'ordre d'une formule de quadrature est définie comme le plus grand entier m pour lequel la valeur calculée par la formule vaut exactement l'intégrale recherchée pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m.
L'ordre de la formule de Newton-Cotes de degré n est supérieur ou égal à n, car on a alors L=f pour tout f polynôme de degré inférieur ou égal à n.
On peut en fait montrer le résultat suivant:
L'ordre donne une indication de l'efficacité d'une formule de quadrature. Les formules de Newton-Cotes sont donc généralement utilisées pour des degrés pairs.
Bien qu'une formule de Newton-Cotes puisse être établie pour n'importe quel degré, l'utilisation de degrés supérieurs peut causer des erreurs d'arrondi, et la convergence n’est pas assurée lorsque le degré augmente à cause du phénomène de Runge.
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