Distance d'un point à une droite

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ). On peut ainsi écrire : Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs et est donnée par les deux expressions : ( ax + by = - c car M est un point de (d)) En particulier : si la droite a pour équation y = mx + p alors ; si la droite a pour équation x = a alors si la droite est donnée par son équation normale: alors (où, bien entendu et ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle. Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme (avec ) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà, en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle). Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule où représente le produit vectoriel des vecteurs et et où représente la norme du vecteur .