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Concept
Distance d'un point à une droite
Résumé
En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ).
On peut ainsi écrire :
Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule
En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs et est donnée par les deux expressions :
( ax + by = - c car M est un point de (d))
En particulier :
si la droite a pour équation y = mx + p alors ;
si la droite a pour équation x = a alors
si la droite est donnée par son équation normale: alors (où, bien entendu et ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.
Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme (avec ) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà, en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).
Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule
où représente le produit vectoriel des vecteurs et et où représente la norme du vecteur .
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Perpendicular distance
In geometry, the perpendicular distance between two objects is the distance from one to the other, measured along a line that is perpendicular to one or both. The distance from a point to a line is the distance to the nearest point on that line. That is the point at which a segment from it to the given point is perpendicular to the line. Likewise, the distance from a point to a curve is measured by a line segment that is perpendicular to a tangent line to the curve at the nearest point on the curve.
Skew lines
In three-dimensional geometry, skew lines are two lines that do not intersect and are not parallel. A simple example of a pair of skew lines is the pair of lines through opposite edges of a regular tetrahedron. Two lines that both lie in the same plane must either cross each other or be parallel, so skew lines can exist only in three or more dimensions. Two lines are skew if and only if they are not coplanar. If four points are chosen at random uniformly within a unit cube, they will almost surely define a pair of skew lines.
Distance d'un point à une droite
En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ).
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