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Concept
Analyse harmonique non commutative
Résumé
L'analyse harmonique non commutative est une branche des mathématiques qui est parvenue à maturité vers la fin des années 1970 ; elle généralise l'analyse harmonique classique et consiste, comme cette dernière (qui remonte au ), à développer une fonction en composantes fondamentales. Elle a des applications dans de nombreux domaines : les équations aux dérivées partielles qui, avec leurs problèmes aux bords, ont des groupes de symétrie non commutatifs ; la Mécanique quantique ; récemment, les sciences de l'ingénieur (, robotique, chimie, théorie des systèmes dynamiques non linéaires, etc.) ; la théorie des nombres (, ).
L'analyse harmonique, à ses débuts, considérait des fonctions périodiques et en réalisait la décomposition en série de Fourier. Une fonction périodique (de période 1, après normalisation) peut être considérée comme définie sur le tore , et la théorie des groupes commutatifs localement compacts montre que l'« espace dual » du tore, sur lequel dont définis les coefficients de Fourier, est l'ensemble des entiers relatifs, qui est de nouveau un groupe abélien ; aussi les coefficients de Fourier d'une fonction périodique forment-ils une suite de nombres complexes. Réciproquement, quand on réalise la synthèse de Fourier, on passe par la « formule de Plancherel » des coefficients de Fourier, définis sur , à la fonction périodique dont ils sont issus, définie sur qui est le « dual » de .
Ceci est un cas particulier du théorème de dualité de Lev Pontryagin et Egbert van Kampen, qui montre que le « bidual » d'un groupe localement compact commutatif G s'identifie à G. D'autre part, on peut associer à une fonction définie sur la droite réelle sa transformée de Fourier, elle aussi définie sur , qui est son propre dual ; puis on peut faire l'opération inverse, par la formule de Plancherel. L'analyse harmonique consiste donc à associer à une fonction, définie sur un groupe topologique G (qu'on supposera être un groupe de Lie quand on voudra définir sur ce groupe, par exemple, la notion de dérivée), une autre fonction, définie sur l'« espace dual » de ce groupe.
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