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Concept
Produit cartésien
Résumé
vignette|Illustration d'un produit cartésien A x B où A={x,y,z} et B={1,2,3}.
Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes.
En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé également ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles. La généralisation à un produit cartésien infini nécessite, quant à elle, la notion de fonction.
Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes, qui, en créant la géométrie analytique, a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant R = R × R pour représenter le plan euclidien, et R = R × R × R pour représenter l'espace euclidien tri-dimensionnel (R désigne la droite réelle).
Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble P dont les éléments sont tous les couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :.Cet ensemble est noté A × B (lire « A croix B ») et est appelé produit cartésien de A par B.
Cas particulier : A × A est noté A et appelé carré cartésien de A :.
Soit A l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }. Soit B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }. Alors le produit cartésien A × B de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, c'est-à-dire l'ensemble :
{ (A, pique) ... (2, pique) , (A, cœur) ... (2, cœur) , (A, carreau) ... (2, carreau) , (A, trèfle) ... (2, trèfle) }.
Un produit cartésien A × B est vide si et seulement si A ou B est vide. En particulier : pour tout ensemble , .
Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si alors et de même, si alors .
Si A et B sont finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B.
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