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Concept
Fonction poids
Résumé
Une fonction poids est un outil mathématique pour le calcul de sommes, d'intégrales ou de moyennes dans lesquelles certains éléments auront plus d'importance ou d'influence que d'autres sur le même ensemble. On parle alors pour le résultat de somme pondérée ou de moyenne pondérée. Les fonctions poids sont couramment utilisées en statistique et en analyse, et peuvent être rapprochées du concept de mesure. Le concept a été étendu pour développer le « calcul différentiel pondéré » et le « méta-calcul différentiel ».
Dans un cas discret, une fonction poids est une fonction positive définie sur un ensemble discret A, généralement fini ou dénombrable. La fonction poids correspond au cas sans poids ou uniforme où tous les éléments ont le même poids.
Si la fonction est à valeurs réelles, alors la somme non pondérée de f sur A se calcule de façon naturelle par :
mais avec une fonction poids , la somme pondérée ou est donnée par :
On trouve des applications de sommes pondérées dans les méthodes d'intégration numérique.
Si B est un sous-ensemble fini de A, on peut remplacer la cardinalité non pondérée |B| de B par la cardinalité pondérée
Si A est un ensemble fini non vide, on peut remplacer la moyenne
par la moyenne pondérée
Dans ce cas seul, les poids « relatifs » sont importants.
Les moyennes pondérées sont utilisées en statistique pour compenser les biais. Pour une quantité f mesurée plusieurs fois de façon indépendante f et de variance , le meilleur estimateur est donné en moyennant les mesures par le poids , et la variance résultante est plus petite que chacune des mesures . La méthode du maximum de vraisemblance pondère la différence entre données et estimation en utilisant le même poids w.
La valeur attendue d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles qu'elle peut prendre, avec un poids correspondant à sa probabilité. Plus généralement, la valeur attendue d'une fonction d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée par leur probabilité des valeurs que la fonction prend pour chaque valeur possible de la variable aléatoire.
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