Intégrale trigonométrique

En mathématiques, les intégrales trigonométriques sont une famille d'intégrales basées sur les fonctions trigonométriques. Sinus intégral Il existe deux fonctions sinus intégrales : On peut remarquer que l'intégrande sin(t)/t est la fonction sinus cardinal, et la fonction de Bessel sphérique d'ordre 0. Puisque sinc est une fonction entière paire (holomorphe sur tout le plan complexe), Si est entière, impaire, et l'intégrale dans sa définition peut être calculée le long de tout chemin reliant les extrémités. Par définition, Si(x) et la primitive de sin x / x qui s'annule en x = 0, et si(x) est celle qui s'annule pour x → ∞. Leur différence est donnée par l'intégrale de Dirichlet : En traitement du signal, les oscillations du sinus intégral génèrent des suroscillations en utilisant le filtre sinus cardinal, et des suroscillations fréquentielles en utilisant un filtre sinus cardinal tronqué comme filtre passe-bas. Ce phénomène est en lien avec le phénomène de Gibbs : si le sinus intégral est considéré comme la convolution de la fonction sinus cardinal avec la fonction de Heaviside, cela revient à tronquer la série de Fourier, d'où l'apparition du phénomène de Gibbs. Cosinus intégral Il existe deux fonctions cosinus intégrales : où γ ≈ 0.57721566 ... est la constante d'Euler-Mascheroni. Certains textes utilisent la notation ci au lieu de Ci. Ci(x) est la primitive de cos(x)/x qui s'annule pour x → ∞. Cin est une fonction entière paire. Pour cela, certains auteurs préfèrent définir Cin puis en déduire Ci. Trigonométrie hyperbolique Le sinus hyperbolique intégral est défini par On peut la relier à la fonction sinus intégral par l'égalité : Le cosinus hyperbolique intégral est défini par où est la constante d'Euler-Mascheroni. Il a pour développement limité Les intégrales trigonométriques peuvent être vues en termes de "fonctions auxiliaires" A partir de ces fonctions, les intégrales trigonométriques peuvent être réécrites en (cf. Abramowitz & Stegun, p.